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By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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S ✻ ........ s s ✲x a x0 b Wenn eine Funktion f : M → R in jedem Punkt von M stetig ist, nennt man sie stetig in M . In der Definition der (einseitigen) Stetigkeit h¨atte man den Punkt x0 auch jeweils mit in die Intervalle einbeziehen k¨onnen, weil |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 gilt. Die hier gegebene Formulierung zielt darauf ab, den Zusammenhang mit der Definition des Grenzwerts deutlich herauszuarbeiten: Aus der Definition der Stetigkeit folgt n¨amlich unmittelbar, daß eine Funktion f : M → R dann und nur dann stetig in x0 ∈ M ist, wenn limx→x0 f (x) = f (x0 ) sofern x0 ∈ M ein H¨aufungspunkt von M ist.

A b ✲ x Betrachte die Menge Z = {x ∈ [a, b] | f (x) < 0}. Wegen f (a) < 0 ist Z nicht leer. Sei x0 das Supremum von Z. Wir zeigen, daß f (x0 ) = 0. 6 ein δ > 0 mit [x0 , x0 + δ[ ⊆ [a, b] und f (x) < 12 f (x0 ) < 0 f¨ ur alle x ∈ [x0 , x0 + δ[. Insbesondere w¨are x0 + 2δ ∈ Z im Widerspruch zur Tatsache, daß x0 eine obere Schranke von Z ist. y ✻ . . ... . . ... 0 ........ . .... ....... ........ . . . . . 7 ein ur alle x ∈]x0 − δ, x0 ].

Dann gilt (vgl. 5) 1 t |g(t) − y| = |f 1 t > x0 f¨ ur 0 < t < δ und − y| < f¨ ur t ∈ ]0, δ[ ∩N . Dies bedeutet aber, daß limt→0+ g(t) = y. Umgekehrt, wenn limt→0+ g(t) = y, dann gilt (∗∗) f¨ ur t ∈ ]0, δ[ ∩N . Mit x0 = dies (∗) f¨ ur x ∈ ]x0 , ∞[ ∩M , also limx→∞ f (x) = y. 9 beweist man: Sei M ⊆ R nach oben unbeschr¨ankt und f : M → R eine Funktion. Setze N := { x1 | x ∈ M \ {0}} und g : N → R, t → f ( 1t ). Dann gilt ] − δ, 0[ ∩N = ∅ f¨ ur jedes δ > 0 und lim f (x) = y x→−∞ ⇔ lim g(t) = y. 11 : x2 − 2x = lim x→∞ 2x2 − 3x − 1 x→0+ lim 2 x2 1 x2 − − 3 x 2 x −1 1 − 2t 1 = 2 t→0+ 2 − 3t − t 2 = lim Im allgemeinen haben Funktionen keinen Grenzwert f¨ ur x → ±∞.

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