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By N. S. Hellerstein

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Example text

Auch auf dem Gebiete der Wirklichkeit begegnen wir also überall einer Unendlichkeit. §26. Doch dieses zuzugestehen, weigern sich selbst mehrere derjenigen Gelehrten, welche bei Dingen, die keine Wirklichkeit haben (wie bei den bloßen Sätzen und Wahrheiten an sich), ein Unendlichkeit nicht ableugnen zu können einsehen. Denn ein Unendliches sogar auf dem Gebiete der Wirklichkeit zuzulassen, das, meinen sie, werde durch den uralten Grundsatz, d a ß alles W i r k l i c h e e i n e d u r c h g ä n g i g e B e s t i m m t h e i t h a b e n m u ß , verboten.

5 5 Verstehen wir nun (wie wir sollen) unter dem V e r h ä l t n i s s e zwischen zwei Dingen den Inbegriff a l l e r an ihrem Vereine sich kundgebender Beschaffenheiten, so dürfen wir an dem Verhältnisse, in welchem die Teile 3 und 4 in der einen, und 7^ und 9^ in der anderen Menge zueinander stehen, nicht etwa einseitigerweise bloß dasjenige VerhältB o l z a n o , Paradox, en des Unendlichen. 3 34 Vergleichung unendlicher Mengen. nis, das man das g e o m e t r i s c h e zu nennen pflegt, beachten, sondern auf alles hierzu Gehörige sehen, namentlich also auch darauf, daß der a r i t h m e t i s c h e Unterschied zwischen den Größen 3 und 4 ein ganz anderer sei als zwischen den Größen 7^- und 9-f-; indem jener = 1, dieser -= 2J- ist.

3T- Allein die meisten Mathematiker, welche sich an die Rechnung mit dem Unendlichen gewagt, gingen viel weiter, als es nach den hier aufgestellten Grundsätzen geschehen darf. Nicht nur erlaubten sie sich ohne Bedenken bald ein unendlich Großes, bald ein unendlich Kleines bei Größen vorauszusetzen, die ihrer Natur nach eines solchen unfähig sind (wovon erst in der Folge Beispiele angeführt werden sollen): sondern sie nahmen sich auch heraus, Größen, welche aus der Summierung einer unendlichen Reihe hervorgehen, einander bald gleichzusetzen, bald wieder die eine als größer oder kleiner denn die andere zu erklären, bloß weil in beiden sich Glieder, welche in einem solchen Verhältnisse der Gleichheit oder Ungleichheit stehen, paarweise aufweisen lassen, obwohl ihre Mengen offenbar ungleich waren; sie wagten es, auszusprechen, daß nicht nur jede unendlich kleine Größe in der Summierung mit einer endlichen, oder auch jede von einer h ö h e r e n Ordnung neben einer von n i e d e r e r Ordnung, sondern auch jede unendlich g r o ß e Größe von niederer Ordnung in der Summierung neben einer von h ö h e r e r Ordnung g l e i c h e i n e r b l o ß e n Null v e r s c h w e n d e ; sie verfielen, um ihre auf diesen Satz gestützte Rechnungsmethode nur einigermaßen zu rechtfertigen, auf die Behauptung, daß es erlaubt sei, auch eine bloße Null als Divisor zu betrachten, und daß der Quotient im Grunde nichts anderes als eine u n e n d l i c h g r o ß e # o G r ö ß e , der Quotient *— aber eine ganz u n b e s t i m m t e G r ö ß e bezeichne.

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